Развитие теории многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами
Автор Авсянкин Олег Геннадиевич, 29.06.2009
| Страницы: 1 2 3 |
АВСЯНКИН Олег Геннадиевич
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОДНОРОДНЫМИ
И БИОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ
01.01.01 математический анализ
диссертации на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук
Ростов-на-Дону
Работа выполнена на кафедре дифференциальных и интегральных уравнений Южного федерального университета. Научный консультант: доктор физико-математических наук,
профессор Симоненко Игорь Борисович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Гольдман Михаил Львович
доктор физико-математических наук,
профессор Пилиди Владимир Ставрович
доктор физико-математических наук,
профессор Солдатов Александр Павлович Ведущая организация: Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова
Защита состоится 6 октября 2009 г. в 1545 на заседании диссертационого совета Д 212.208.29 в Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов–на–Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, мханики и компьютерных наук, ауд. 211.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федералного университета по адресу: г. Ростов–на–Дону, ул. Пушкинская, 148.
Актуальность темы. Исследования по теории интегральных оперторов являются важной составной частью современного анализа.
Данная работа посвящена многомерным интегральным операторам с однородными и биоднородными ядрами, которые рассматриваются в прстранствах суммируемых функций. Наши исследования с одной стороны примыкают к классической теории интегральных операторов, а с другой тесно связаны с общей теорией банаховых алгебр, спектральной теорией и теорией проекционных методов.
В одномерном случае интегральные операторы с однородными степени (?1) ядрами, по-видимому, впервые рассматривались Г. Харди и Дж. Литлвудом. Различные аспекты теории таких операторов отражены в трдах Л. Г. Михайлова, Н. К. Карапетянца, С. Г. Самко, А. П. Солдатова, А. А. Килбаса, Б. И. Голубова, Р. В. Дудучавы, А. В. Гиля, М. В. Цалюк, М. А. Бетилгириева, Я. Б. Рутицкого. Однако, действующие в Lp –просранствах одномерные операторы с однородными ядрами непосредственно сводятся к операторам типа свертки с помощью экспоненциальной замены. Это позволяет перенести результаты, которые имеют место для оператров типа свертки, на интегральные операторы с однородными степени (?1) ядрами.
Многомерная ситуация принципиально сложнее и требует совершенно иных подходов. В конце 60-х начале 70-х годов Л. Г. Михайловым и его сотрудниками было начато изучение многомерных интегральных опраторов с однородными степени (?n) ядрами, при дополнительном преположении инвариантности ядер относительно всех вращений в Rn ? Rn . Ими были получены достаточные условия ограниченности таких оператров в различных пространствах функций, предложена схема исследования нетеровости и вычисления индекса, а также указаны некоторые достатоные условия компактности.
Дальнейшее развитие теория многомерных интегральных операторов с однородными ядрами получила в работах Н. К. Карапетянца. Отказашись от условия инвариантности ядра относительно группы вращений, Н. К. Карапетянц установил достаточные, а в случае неотрицательного ядра и необходимые, условия ограниченности операторов с однородными ядрами в Lp –пространствах, а также получил оценки снизу для норм тких операторов. Он также получил достаточные условия ограниченности операторов в гельдеровских классах. Кроме того, в работах Н. К. Караптянца рассматривались операторы с однородными ядрами и переменнми коэффициентами, и были описаны некоторые классы коэффициентов, обеспечивающие компактность таких операторов. Эти исследования были подытожены в его докторской диссертации и частично нашли отражение в монографии Н. К. Карапетянца и С. Г. Самко1 .
Вышеуказанные результаты отражают лишь некоторые аспекты теории многомерных интегральных операторов с однородными ядрами. Общая теория, подобная той, которая имеется для операторов типа свертки или для сингулярных интегральных операторов, отсутствует.
Именно поэтому представляется весьма актуальным построение общей теории многомерных интегральных операторов, ядра которых однородны степени (?n) и инвариантны относительно группы вращений SO(n) (опраторы с такими ядрами мы будем называть каноническими ), включащей также исследование близких операторов, в частности, с биоднороными ядрами. Изучение вышеуказанных классов операторов естественно проводить наряду с исследованием порожденных ими банаховых алгебр, поскольку такие важнейшие характеристики оператора как свойство нетровости, обратимость, спектр и некоторые другие, имеют алгебраический характер. В связи с этим нами уделяется большое внимание банаховым алгебрам, в частности, C ? -алгебрам, порожденным различными классами многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами.
Другой причиной, стимулирующей интерес к многомерным интегралным операторам с однородными ядрами, является тесная связь этих опраторов с дифференциальными уравнениями в частных производных. Как известно, такие операторы естественным образом возникают, если примнять метод потенциалов к эллиптическим дифференциальным уравненям с сингулярными коэффициентами в области, содержащей точку x = 0, (например, к уравнению Шр? едингера).
auser. 2001. 427 p. операторы находят в механике (Р. В. Дудучава), в краевых задачах теории аналитических функций (А. П. Солдатов), в теории операторов, коммутрующих с растяжениями (И. Б. Симоненко), при исследовании мультиплкативных дискретных сверток (Я. М. Ерусалимский), в дифференциалной геометрии (З. Д. Усманов).
Цель работы. Разработка теории и методов исследования многоменых интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами, действующих в пространствах суммируемых функций. Развитие методов исследования банаховых алгебр, в частности, C ? -алгебр, порожденных ткими операторами. Получение необходимых и достаточных условий нетровости и (или) обратимости операторов из этих алгебр. Развитие теории проекционных методов применительно к интегральным операторам с онородными и биоднородными ядрами и исследование предельного повдения спектральных характеристик усеченных операторов. Модификация методов изучения обратимости и нетеровости для случая интегральных операторов, имеющих ядра более общего вида.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные рзультаты.
1) Проведено полное исследование банаховых алгебр, порожденных кноническими многомерными интегральными операторами с однородными ядрами (в том числе парными операторами), а также C ? -алгебры, породенной операторами с однородными ядрами и операторами мультипликтивного сдвига. Для всех этих алгебр построено символическое исчислние, в терминах которого получены необходимые и достаточные условия нетеровости и (или) обратимости операторов и формулы для вычисления индекса нетеровых операторов.
2) Для многомерных интегральных операторов с однородными ядрами и переменными коэффициентами найдены весьма слабые условия на кэффициент, обеспечивающие компактность таких операторов. Получены необходимые и достаточные условия нетеровости (а в некоторых случях и обратимости) операторов с однородными ядрами и радиальными оциллирующими в нуле и на бесконечности коэффициентами. Исследованы банаховы алгебры, порожденные такими операторами.
3) Разработана теория проекционных методов для канонических интгральных операторов с однородными ядрами, включая парные операторы. Кроме того, исследовано предельное поведение спектров, ?-псевдоспектров и сингулярных значений усеченных интегральных операторов.
4) Изучена C ? –алгебра, порожденная многомерными интегральными операторами с биоднородными ядрами: для нее построено операторнознаное символическое исчисление, в терминах которого получен критерий нетеровости операторов, и установлена топологическая формула для вчисления индекса. Найден критерий применимости проекционного метода к интегральным операторам с биоднородными ядрами, и описано пределное поведение спектральных характеристик усеченных операторов.
5) Получен критерий нетеровости многомерных интегральных оператров с квазиоднородными ядрами, и дана формула для подсчета их индекса. Установлены необходимые и достаточные условия обратимости и нетервости интегральных операторов с ядрами, имеющими различный характер однородности по разным группам переменных.
Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теортический характер. Методы и результаты работы позволяют построить достаточно полную теорию многомерных интегральных операторов с однродными и биоднородными ядрами, инвариантными относительно группы вращений. Методы, разработанные в диссертации, могут быть эффективно применены для изучения других классов интегральных операторов. Полченные в работе результаты можно использовать для изучения разлиных математических моделей, описываемых уравнениями с однородными, биоднородными и квазиоднородными ядрами.
Методологическая основа исследования. В диссертационной рботе широко используются методы функционального анализа, теории бнаховых алгебр, в частности, C ? -алгебр, и гармонического анализа на сфре. Кроме того, для исследования многомерных интегральных операторов с однородными ядрами применяются специальные методы, разработанные автором.
Современные проблемы математики, механики и их приложений , посвщенной 70-летию В. А. Садовничего (Москва, 2009 г.).
С докладами о результатах диссертации автор выступал: на семинре академика РАН В. А. Ильина в Московском госуниверситете (2008 г.); на семинаре проф. А. П. Солдатова и проф. А. М. Мейрманова в Белгродском госуниверситете (2008 г.); на заседании Ростовского математческого общества (2008 г., руководитель проф. А. В. Абанин), а также многократно на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского госуниверситета Южного федерального унивеситета (руководители проф. С. Г. Самко, проф. Н. К. Карапетянц, проф. А. И. Задорожный).
Часть исследований по теме диссертации была выполнена при поддерке следующих грантов:
Методы обращения операторов типа потенциала и функциональные пространства дробной гладкости (РФФИ, проект 98-01-00261-а);
Операторы типа потенциала с осциллирующими ядрами или сиволами, аппроксимативные обратные операторы и функциональные прстранства, связанные с ними (РФФИ, проект 00-01-00046-а);
Интегральные операторы с каноническими ядрами, сингулярные итегральные операторы на банаховых пространствах и порождаемые ими алгебры (РФФИ, проект 06-01-00297-а);
Псевдодифференциальные операторы и их приложения (Внутрений грант Южного федерального университета, проект K-07-T-143/8).
Публикации. Все основные результаты данной диссертации опублкованы в работах [1]–[22], из которых 19 работ являются публикациями в журналах из официального перечня ВАК РФ по докторским диссертциям. Результаты, выносимые на защиту, получены соискателем самостятельно. Из совместных работ в диссертацию вошли результаты, полученые лично соискателем, за исключением нескольких утверждений вспомгательного характера, которые включены в работу для полноты изложния и не выносятся на защиту (при этом соответствующие доказательства модифицированы соискателем).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 20 параграфов, и библиографического списка, включащего список использованной литературы и список работ соискателя. Обем работы 277 страниц машинописного текста. Список использованных источников и список работ соискателя содержат 126 и 22 наименований соответственно.
Во введении дается общая характеристика работы, излагается история вопроса, а также приводится подробный обзор результатов диссертации по главам и параграфам.
Rn где функция k (x, y ) определена на Rn ? Rn (здесь и далее предполагается, что n 2) и удовлетворяет следующим условиям:
1? однородность степени (?n), т. е.
k (?x, ?y ) = ??n k (x, y ), ? ? > 0;
2? инвариантность относительно группы вращений SO(n), т. е.
k (? (x), ? (y )) = k (x, y ), ? ? ? SO(n);
3? суммируемость, т. е.
Rn Изучение операторов вида (1) и их обобщений приводит к задаче исследвания соответствующих банаховых алгебр. Именно алгебрам, порожденым различными классами интегральных операторов с однородными ярами, уделяется основное внимание в данной главе.
Подчеркнем, что исследование операторных алгебр является предметом внимания многих математиков на протяжении нескольких последних дестилетий. Не претендуя на полноту изложения, упомянем таких известных авторов как И. М. Гельфанд, М. Г. Крейн, И. Ц. Гохберг, Н. Я. Крупник, И. Б. Симоненко, А. Б. Антоневич, Б. А. Пламеневский, А. Я. Хелемский, Н. К. Никольский. В настоящее время многие операторные алгебры полнстью описаны. Однако, алгебры, порожденные многомерными интегралными операторами с однородными ядрами, ранее не рассматривались.
В § 1.1 собраны необходимые обозначения, предварительные сведения, а также вспомогательные результаты, касающиеся одномерных интегралных операторов с однородными степени (?1) ядрами.
Функция k (x, y ) = |x|?? |x ? y |??n , где 0 < ? < n, является примером функции, удовлетворяющей условиям 1? , 2? и 3? при 1 < p < n/?. осуществить редукцию многомерного интегрального уравнения, соотвествующего оператору A, к бесконечной диагональной системе одномерных уравнений. Этот метод является одним из основополагающих в теории операторов с ядрами, удовлетворяющими условиям 1? –3? , и неоднокрано применяется в дальнейшем. В качестве следствия основной теоремы получен критерий обратимости и нетеровости оператора ?I ? K.
Еще одним важным результатом данного параграфа является теорема о плотности множества нетеровых парных операторов вида (2) во множстве всех операторов вида (2).
Rn где kj (x, y ) ядро оператора Kj , e1 · y скалярное произведение вектров e1 и y = y/|y |, Pm (t) многочлены Лежандра. При этом по непррывности мы полагаем, что ?1,A (?) = ?2,A (?) = ?.
?1 ,A (m, ? ) где ind? f (m, ? ) индекс функции f (m, ? ) при фиксированном m.
Здесь через dn (m) обозначена размерность пространства сферических гармоник порядка m.
| Страницы: 1 2 3 |