Doc2All.ru

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносва. Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор А. В. Михалев Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корр. РАН Л. Д. Беклемишев

доктор физико-математических наук,

профессор В. М. Левчук

доктор физико-математических наук,

Актуальность темы. Работа посвящена автоморфизмам и изоморфимам групп Шевалле над кольцами, а также элементарной эквивалентности различных производных структур (в том числе групп Шевалле).

Автоморфизмы и изоморфизмы линейных и классических групп задача, изучаемая математиками с начала прошлого века. Линейные группы являюся традиционным объектом исследования математиков. Различные вопросы, связанные с их структурой, изучались К. Жорданом, Л. Диксоном, Б. ван дер Варденом, Г. Вейлем, Ж. Дьедонне, Ж. Титсом и их многочисленными последователями в огромном количестве работ. Ко второй половине XX века сложилось несколько крупных направлений исследования линейных групп, среди которых изучение нормальных подгрупп, описание линейных групп с помощью образующих и определяющих соотношений, описание подгрупп, порожденных некоторыми специальными элементами, а также описание атоморфизмов и изоморфизмов между линейными группами.

Изучение автоморфизмов классических групп началось работой Шрайера и Ван-дер-Вардена1 1928 г., в которой были описаны автоморфизмы группы PSL n (n 3) над произвольным полем. Затем Дьедонне2 в 1951 г. и Ркарт3 в 1950 г. ввели метод инволюций, с помощью которого были описаны автоморфизмы группы GL n (n 3) над телом.

Первый шаг в построении теории автоморфизмов над кольцами, а именно для группы GL n (n 3) над кольцом целых чисел, сделали Хуа Логен и Райнер4 в 1951 г. В 1957 г. Лэндин и Райнер5 , а также Вань Чжесянь6 обощили результат Хуа Логена и Райнера на некоммутативные области главных идеалов.

Schreier O., van der Varden B.L. Die Automorphismen der projektiven Gruppen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1928, 6, 303–322.

Dieudonne J. On the automorphisms of the classical groups. Mem. Amer. Math. Soc., 1951, 2, 1–95.

Rickart C.E. Isomorphic group of linear transformations. Amer. J. Math, 1950, 72, 451–464.

Hua L.K., Reiner I., Automorphisms of unimodular groups, Trans. Amer. Math. Soc., 71, 1951, 331–348.

Landein I., Reiner I. Automorphisms of the general linear group over a principal ideal domain. Ann. Math., 1957, 65(3), 519–526.

Wan C.A. The automorphism of linear group over a noncommutative principal ideal domain of characteristic = 2. Acta Math. Sinica, 1957, 7, 533–573.

O’Meara O.T., The automorphisms of linear groups over any integral domain, J. reine angew. Math., 223, 1966, 56–100. мы группы GL n (n 3) над областями целостности. Независимо от О’Миры, опираясь на изучение инволюций, автоморфизмы группы En (R) (n 3) над областями целостности характеристики = 2 описал Янь Шицзянь8 (1965 г.).

Помфрэ и Макдональд9 в 1972 г. определили автоморфизмы группы GL n (n 3) над коммутативным локальным кольцом, в котором двойка обратма. Обратимость в кольце двойки дает возможность привлекать к изучению автоморфизмов группы GL n технику, опирающуюся на изучение инволюций. Г.А. Носков 10 и В.Я. Блошицын11 в 1975 г. описали автоморфизмы группы GL n (R) (n 3), если R коммутативное кольцо, которое не порождается делителями нуля, с обратимой двойкой. В.С. Дроботенко и Э.Я. Погориляк12 в 1977 г. сделали то же для конечных сумм локальных колец, Макдональд 13 в 1978 г. если коммутативное кольцо R содержит только нулевой и едининый идемпотенты.

Уотерхауз14 в 1980 г. доказал стандартность автоморфизмов групп GL n (n 3) над произвольным коммутативным кольцом с обратимой двойкой. Если 2 необратимый элемент коммутативного локального кольца R, то атоморфизмы групп SL n (R), GL n (R) были изучены В.М. Петечуком в 1980 г. при n 415 и в 1982 г. при n = 316 . Основываясь на результатах над локалными кольцами в 1982 г. В.М. Петечук 17 описал автоморфизмы линейных групп GL n , SL n (n 4) над произвольными коммутативными кольцами.

Shi-jian Yan. Linear groups over a ring. Chinese Math., 1965, 7(2), 163–179.

Pomfret I., McDonald B.R. Automorphisms of GL n (R), R a local ring. Trans. Amer. Math. Soc., 1972, 173, 379–388.

Носков Г.А. Автоморфизмы группы GL n (O) при dim M ax(O) n ? 2. Мат. Заметки, 1975, 17(2), 285–291.

Блошицын В.Я. Автоморфизмы общей линейной группы над коммутативным кольцом, не порождамым делителями нуля. Алгебра и логика, 1978, 17(6), 639–642.

Дроботенко В.С., Погориляк Е.Я. Автоморфизмы полной линейной группы над некоммутативным полулокальным кольцом. УМН, 1977, 32(2), 157–158.

McDonald B.R., Automorphisms of GL n (R)., Trans. Amer. Math. Soc., 215, 1976, 145–159.

Waterhouse W.C. Automorphisms of GLn (R). Proc. Amer. Math. Soc., 1980, 79, 347–351.

Петечук В.М. Автоморфизмы групп SL n , GL n над некоторыми локальными кольцами. Математческие заметки, 28(2), 1980, 187–206.

Петечук В.М. Автоморфизмы групп SL 3 (K ), GL 3 (K ). Математические заметки, 31(5), 1982, 657–668.

Петечук В.М. Автоморфизмы матричных групп над коммутативными кольцами. Математический сборник, 1982, 117(4), 534–547.

Голубчик И.З., Михалев А.В. Изоморфизмы общей линейной группы над ассоциативным кольцом. Вестник МГУ, серия математика, 1983, 3, 61–72.

Зельманов Е.И. Изоморфизмы полных линейных групп над ассоциативными кольцами. Сибирский математический журнал, 1985, 26(4), 49–67. 1997 году И.З. Голубчиком20 описание изоморфизмов между общими линеными группами было продолжено на случай произвольных ассоциативных колец и n, m 4.

С другой стороны, теория алгебраических групп также является одной из важнейших областей современной алгебры. Она возникла в середине XX века, на стыке алгебраической геометрии, теории групп и теории Ли, и в настоящее время имеет приложения как в этих, так и в других областях математики: теории конечных групп, теории чисел, теории инвариантов, теории диффренциальных уравнений и т. д. Центральное место в теории алгебраических групп занимают полупростые алгебраические группы и их непосредственное обобщение группы Шевалле.

Основы теории групп Шевалле были заложены в 1950-х, 1960-х годах в рботах К. Шевалле, Ж. Титса, А. Бореля, А. Вейля, А. Гротендика, М. Демазюра, Р. Стейнберга и др. В частности, в 1956–1958 годах К. Шевалле получил классификацию полупростых алгебраических групп над алгебраически змкнутым полем. Позднее Шевалле показал, что все полупростые группы над алгебраически замкнутым полем в действительности определены над Z, или, иначе говоря, получаются в результате расширения базы из некоторых груповых схем над Z, называемых схемами Шевалле–Демазюра. Группы точек схем Шевалле–Демазюра над коммутативными кольцами называются групами Шевалле. Частными случаями групп Шевалле являются расщепимые классические группы матриц SL n (R), SO n (R), Sp n (R) (над коммутатиным кольцом R с единицей); конечные простые группы типа Ли An (q )–G2 (q ) являются центральными факторами групп Шевалле.

Таким образом, группы Шевалле являются естественным продолжением как алгебраических групп, так и классических линейных групп над коммтативными кольцами.

И.З. Голубчик. Линейные группы над ассоциативными кольцами. Диссертация на соискание степени доктора физико-математических наук. Уфа, 1997. торов, среди которых отметим работы Бореля–Титса21 , Картера–Ю Чена22 , Ю Чена23 , Э. Абе, А.А. Клячко.

Э. Абе24 доказал стандартность автоморфизмов для нетеровых колец, что теоретически могло бы закрыть вопрос об автоморфизмах групп Шевалле над произвольными коммутативными кольцами (для случая системы коней ранга 2 и колец с обратимой двойкой), однако в рассмотрении случая присоединенных элементарных групп в работе Э. Абе содержится ошибка, которую не удается устранить методами этой статьи. Именно, в доказателстве леммы 11 используется то, что ad (x? )2 = 0 для всех длинных корней, что неверно в присоединенном представлении. Главной проблемой здесь яляется случай групп типа E8 , так как во всех остальных случаях группы Шевалле допускают представление, обладающие свойством ad (x? )2 = 0 для всех длинных корней, а в случае E8 таких представлений нет.

Случаи, когда кольцо содержит достаточно много обратимых целых чисел (например, все рациональные числа) полностью закрыт в работе А.А. Клячко25 . Таким образом, наибольший интерес на данный момент представляют колца, в которых мало обратимых целых элементов (например, обратимы только единица и двойка, либо только единица).

По этой причине особый интерес представляет рассмотрение групп Швалле над локальными кольцами (с обратимой двойкой или без нее), так как появляется возможность перейти к описанию автоморфизмов (и изоморфимов) групп Шевалле над всеми коммутативными кольцами с помощью метда локализации. В данной диссертационной работе описаны автоморфизмы групп Шевалле всех типов над локальными кольцами с обратимой двойкой, а также типов Al , Dl , El над локальными кольцами с необратимой двойкой.

Заметим, что случай Al был полностью рассмотрен в работах В. Уотехауза, В.М. Петечука, Ли Фу-аня и Ли-Дзун-сяна, причем даже без условия обратимости двойки в кольце. Работы И.З. Голубчика и А.В. Михалева охвтывают случай системы корней Cl , который в данной диссертационной работе не рассматривается.

ebriques simples. Ann. Math., 1973, 73, 499– 571.

Carter R.W., Chen Yu. Automorphisms of a?ne Kac–Moody groups and related Chevalley groups over rings. J. Algebra, 1993, 155, 44–94.

Chen Yu. Isomorphisms of Chevalley groups over algebras. J. Algebra, 2000, 226, 719–741.

Abe E. Automorphisms of Chevalley groups over commutative rings. Algebra and Analysis, 5(2), 1993, 74–90.

Klyachko Anton A. Automorphisms and isomorphisms of Chevalley groups and algebras. arXiv:math/0708.2256v3 (2007). точностью до изоморфизма, то теорию моделей интересует классификация структур с точностью до элементарной эквивалентности.

Две модели U и U одного языка первого порядка L (например, две групы или два кольца) называются элементарно эквивалентными, если любое предложение ? языка L истинно в модели U тогда и только тогда, когда оно истинно в модели U . Любые две конечные модели одного языка элментарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны. Любые две изоморфные модели элементарно эквивалентны, однако для бесконечных моделей обратное неверно. Например, поле C комплексных чисел и поле Q алгебраических чисел элементарно эквивалентны, но не изоморфны, так как имеют различную мощность.

Ряд интересных задач в теории групп возник в связи с применением в ней теоретико-модельных методов. К их числу относится проблема классфикации групп с точностью до элементарной эквивалентности, или в другой формулировке проблема классификации полных теорий групп.

Анализ решений проблемы элементарной классификации групп опредленного класса позволяет выделить три основных метода доказательств: мдельной полноты, перехода к насыщенным моделям и прямой, когда докзывается формульность характеристик, определяющих групповую структуру исследуемой группы. Наиболее полные результаты по проблеме элементарной эквивалентности были получены для абелевых и линейных групп.

Весьма прозрачная и полезная в приложениях классификация абелевых групп по элементарным свойствам получена в 1954 г. польским математком Шмелевой26 . Одним из наиболее важных следствий теоремы Шмелевой является разрешимость элементарной теории класса абелевых групп.

Страницы: 1 2 3 4 5

Авторефераты, диссертации, научные работы

Публикации 06.09.2010

Другие разделы

Автоморфизмы и элементарная эквивалентность групп Шевалле и других производных структур